Archive for 2014

Statistika

STATISTIKA

Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter.
Kegiatan Statistika meliputi:

1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah dan Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan

1. Pengertian Datum dan Data

    Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.

2. Pengertian Populasi dan Sampel
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Tegal. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Tegal yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi.

3. Pengumpulan Data

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
     bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
     data cacahan dan data ukuran.
     a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
         dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
         banyak anak dalam keluarga.
     b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
         dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
         ukuran tinggi badan murid.
2) Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
     Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
     objek. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan,
     yaitu baik, sedang, dan kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

Menyajikan Data dalam Bentuk Diagram

1. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.
Contoh:

Berikut simulasi diagram garis, kamu dapat mengubah-ubah diagram garis yang ada:
2. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah Berikut simulasi diagram batang, kamu dapat mengubah-ubah diagram batang yang ada
3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini. Berikut simulasi diagram lingkaran, kamu dapat mengubah-ubah diagram lingkaran yang ada

Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Histogram, Poligon dan Ogive

1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.

2. Distribusi Frekuensi Kelompok
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin

Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan ke bawah.

Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

J
I = ––––
K

Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.

Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.

3. Histogram
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.
4. Poligon
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
Berikut simulasi histogram dan poligon
5. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

6. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Median

2. Median

1) Median untuk data tunggal
    Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me.
    Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengan cara:
    a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,
    b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:

      Untuk n ganjil : Me = X1/2(n + 1)

                                           Xn/2 + Xn/2 +1
      Untuk n genap: Me =   ––––––––––––
                                                   2

      Keterangan:
      xn/2 = data pada urutan ke-n/2 setelah diurutkan.

      Contoh:
      Tentukan median dari data: 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
      Jawab:
      Data diurutkan menjadi: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
      Median = data ke-(13 + 1)/2 = data ke-7
      Jadi mediannya = 6

2) Median untuk data kelompok
Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

Keterangan:
Kelas median adalah kelas yang terdapat data X1/2 n
L = tepi bawah kelas median
c = lebar kelas
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

Modus

3. Modus

Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

1) Modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan
frekuensi tertinggi.
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:
Tentukan modus dari data di bawah ini.
2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10
Jawab:
Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.

2. Modus data kelompok
Modus data kelompok dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan:
L = tepi bawah kelas modus
c = lebar kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Kuartil

Kuartil (Q)

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.
1) Kuartil data tunggal
Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:

Contoh:
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Jawab:
Langkah 1: urutkan data dari kecil ke besar sehingga diperoleh
3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
1(15+1)
Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4
4
Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4

2(15+1)
Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8
4
Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7

3(15+1)
Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12
4
Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8

2) Kuartil data kelompok

Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
L = tepi bawah kelas kuartil ke-i
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
c = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yang memberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yang ada. Adapun ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik-titik pemusatan.

1. Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.
1) Range data tunggal
Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:

R = xmaks – xmin

Contoh :
Tentukan range dari data-data di bawah ini.
6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

Jawab:
Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3
Jadi, R = xmaks – xmin
= 20 – 3 = 17

2) Range data kelompok
Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

    Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan hitung.

     1) Simpangan rata-rata data tunggal
         Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

     2) Simpangan rata-rata data kelompok
         Simpangan rata-rata data kelompok dirumuskan:

3. Simpangan Baku (Deviasi Standar) dan Ragam

Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya. Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi. Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia. Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.

1) Simpangan baku dan ragam data tunggal
Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

2) Ragam dan Simpangan baku data kelompok Ragam () dan Simpangan baku (s) data kelompok
dirumuskan sebagai berikut.

*Sumber : http://matematikaxisemester1.blogspot.com/p/statistika.html

0 Comments

Logika Matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis . Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan

#1. Pengertian Logika dan Kalimat Bermakna
Logika matematika merupakan cabang penting dari matematika sehingga perlu diajarkan pada semua jenis sekolah lanjutan untuk memberikan dasar cara berfikir yang logis dan sistematis. Oleh karena itu obyek-obyek diluar semesta pem-bicaraan tidak perlu diperhatikan agar pembahasan masa-lah dapat terarah dan bisa menghindari kesalahpahaman dalam peninjauannya.

Dalam kehidupan sehari-hari dilakukan komunikasi menggunakan bahasa. Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu:
Kalimat berarti
yaitu kalimat yang dari padanya dapat ditarik suatu pengertian yang masuk akal dan berarti dalam pikiran.
Contoh:

Matahari terbit dari arah timur.
Harimau binatang buas.

Kalimat tidak berarti
yaitu kalimat yang tidak bisa diterima akal.
Contoh:

Nasi menyanyi tidur makan.

2 + 5 menyangi tidak pergi akan lagi.
Kalimat yang mempunyai arti dibedakan menjadi 2 yaitu: yaitu kalimat pernyataan dan kalimat bukan pernyataan.

Kalimat Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)
Kalimat Pernyataan
adalah suatu kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah. Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, atau proposisi dan dilambangkan dengan satu huruf kecil.
Perhatikan kalimat kalimat-kalimat berikut ini:
Contoh:

p: Semarang Ibukota Jawa Tengah. (benar)
q: 4x + 6x = 12x. (Salah)
r: Semua siswa SMK harus melaksanakan Praktek Kerja Industri (Prakerin). (Benar)
s: Nilai dari 42 x 2-3 = 3. (Salah)
t: 7 + 3 £ 10. (Benar)

Selain kalimat pernyataan di atas ada pula kalimat faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya baru diketahui sesuai dengan keadaan saat itu.
Contah:

Hari ini matahari bersinar terang.
Besok ada orang yang mendapat hadiah dari Bank.

Kalimat bukan pernyataan
adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.

Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah suatu bilangan tertentu atau suku yang tidak mengandung variabel.
Contoh:

6x – 4 = 14 (Kalimat terbuka)
3x + 4 <>
Hapuslah papan tulis itu! (Kalimatperintah)
Mengapa kamu tidak mengerjakan pekerjaan rumah? (Kalimat tannya)
Mudah-mudahan semua siswa mendapat beasiswa dari Pemkot. (Kalimat harapan)

#2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi

bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut

Ingkaran/Negasi.

Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda “~” .atau “¬“. Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca “tidak benar bahwa p” atau “non p” atau “negasi dari p”.

Contoh (1)
p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

Tabel Nilai kebenaran ingkaran:

Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.

Konjungsi:
Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan “∧” dan dibaca “dan”. Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan “p ∧ q” dibaca “p dan q”.
Tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai berikut:

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut
Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus hanya bisa terhubung jika saklar p maupun q tertutup
Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).:
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

Jakarta ibu kotaRI dan Tugu Muda terletak di kotaSemarang.

Gedung lawang sewu terletak di kotaSemarang dan 6 + 4 = 11
(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
Disjungsi.

Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan “V” dan dibaca “atau”. Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan” p V q” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi sebagai berikut:

Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar di bawah.

Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus tidak bisa terhubung jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:

Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.
Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.. Salah karena kedua komponennya bernilai salah.

#3. Implikasi dan Biimplikasi

Implikasi (kondisional)
adalah operasi penggabungan dua buah pernyataan yang menggunakan penghubung logika “jika … , maka … ” yang lambangnya ” → “. atau ” ⇒ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis “p → q” atau “p ⇒ q” dan dibaca “jika p, maka q”.
Pernyataan bersyarat p ⇒ q juga dapat dibaca ” p hanya jika q ” atau ” p adalah syarat cukup bagi q ” atau ” q adalah syarat perlu bagi p “.
Pada pernyataan p ⇒ q
p disebut hipotesa, anteseden, atau sebab
q disebut konklusi/konsekuen/akibat.

p	q	p `⇒` q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Tabel nilai kebenaran Implikasi sebagai berikut:

Catatan :
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa implikasi p ⇒ q bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar (B) dan konskuen bernilai salah (S), jika tidak demikian maka p ⇒ q bernilai benar(B).

Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).

Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang. SALAH

p	q	p `⇔` q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang BENAR
Biimplikasi (bikondisional)
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika ” … jika dan hanya jika … ” dan diberi lambang ” ⇔ ” atau ” ↔ “.

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis ” p ⇔ q ” atau
“p ↔ q” dibaca “p jika dan hanya jika q ” dan sering juga dibaca ” p equivalen q ” dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai beriku

Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p ⇔ q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12

2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12

Tulis p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12.
Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
Jadi nilai kebenaran p q adalah salah (S). 2. Kalimat bernilai benar (B)

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli dan 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 dan 3 adalah bilangan prima.
Gedung lawang sewu terletak di kotaSemarang dan Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
Hari ini hujan dan air sungai meluap.

Penyelesaian:

10 tidak bilangan asli atau 10 tidak habis dibagi 5.
3 tidak faktor dari 8 atau 3 tidak bilangan prima.
Gedung lawang sewu tidak terletak di kotaSemarang atau Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.

Hari ini tidak hujan atau air sungai tidak meluap.
(2) Ingkaran dari Disjungsi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari disjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli atau 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 atau 3 adalah bilangan prima.
Gedung lawang sewu terletak di kotaSemarang atau Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
Hari ini hujan atau air sungai meluap.

Jawab:

10 tidak bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5.
3 tidak faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima.
Gedung lawang sewu tidak terletak di kotaSemarang dan Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.

Hari ini tidak hujan dan air sungai tidak meluap.
(3) Ingkaran dari Implikasi.
Untuk menentukan ingkaran dari implikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

Jika 10 adalah bilangan asli maka 10 habis dibagi 5.
Jika 3 adalah faktor dari 8 maka 3 adalah bilangan prima.
Jika 4 + 6 > 10 maka harimau bintang buas.
Jika hari ini hujan maka air sungai meluap.

Penyelesaian:

10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 .
3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima
4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas .

Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap.
(4) Ingkaran dari Biimplikasi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari biimplikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Dalam membuat tabel kebenaran yang perlu diperhatkan adalah semua proposisi yang dibutuhkan diusahakan dibuat:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli jika dan hanya jika 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan prima.
4 + 6 > 10 jika dan hanya jika harimau binatang buas.
Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai meluap.

Penyelesaian:

Tulis:
p: 10 adalah bilangan asli
q: 10 tidak habis dibagi 5.
Jelas ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p).
Jadi ¬(p ⇔ q) ≡ 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 atau 10 habis dibagi r dan 10 bukan bilangan asli.
3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima dan 3 tidah faktor dari 8.
4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas atau harimau binatang buas dan 4 + 6 ≤ 10.
Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap atau air sungai meluap dan hari ini tidak hujan.

#6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan yang berupa implikasi p `⇒` q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q `⇒` p disebut Konvers dari p `⇒` q
(b) Pernyataan ~p `⇒` ~q disebut Invers dari p `⇒` q
(c) Pernyataan ~q `⇒` ~p disebut Kontraposisi dari p `⇒` q.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :

p	q	Implikasi p `⇒` q	Konvers q `⇒` p	Invers ~p `⇒` ~q	Kontraposisi ~q `⇒` ~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis

p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis

q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .

Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² ≥ 36

Penyelesaian:

Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x ≤ 6.
Jadi konvers p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ “jika x > 6 maka x² &re; 36”,

invers p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q ≡ ”jika x² <>≤ 6”,

kontraposisi p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x² < 36”.

*Sumber : http://alkhalayani.wordpress.com/2013/03/27/logika-matematika/

0 Comments

MATE-MATIK

Blog ini dibuat untuk membantu pengunjung belajar Matematika bab PLSV & PLDV, Dimensi Tiga, Logika Matematika, Trigonometri, dan Statistika

Archive for 2014

Statistika

STATISTIKA

Logika Matematika

#3. Implikasi dan Biimplikasi

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

Pengunjung

Matematika

KagePro

Logo

Translate

Blogger templates

Blogger news

Cari Blog Ini

Popular Post

Blog Archive

About Me

Followers

Blogroll

MATE-MATIK

Blog ini dibuat untuk membantu pengunjung belajar Matematika bab PLSV & PLDV, Dimensi Tiga, Logika Matematika, Trigonometri, dan Statistika

Archive for 2014

Statistika

STATISTIKA

Logika Matematika

#3. Implikasi dan Biimplikasi

#4. Ingkaran dari Operasi Logika (1) Ingkaran dari Konjungsi. Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini: Contoh: Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

Pengunjung

Matematika

KagePro

Logo

Translate

Blogger templates

Blogger news

Cari Blog Ini

Popular Post

Blog Archive

About Me

Followers

Blogroll

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini: