Logika Matematika

Posted by : Unknown Kamis, 06 Februari 2014

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis . Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan

#1. Pengertian Logika dan Kalimat Bermakna
Logika matematika merupakan cabang penting dari matematika sehingga perlu diajarkan pada semua jenis sekolah lanjutan untuk memberikan dasar cara berfikir yang logis dan sistematis. Oleh karena itu obyek-obyek diluar semesta pem-bicaraan tidak perlu diperhatikan agar pembahasan masa-lah dapat terarah dan bisa menghindari kesalahpahaman dalam peninjauannya.

Dalam kehidupan sehari-hari dilakukan komunikasi menggunakan bahasa. Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu:
Kalimat berarti
yaitu kalimat yang dari padanya dapat ditarik suatu pengertian yang masuk akal dan berarti dalam pikiran.
Contoh:

Matahari terbit dari arah timur.
Harimau binatang buas.

Kalimat tidak berarti
yaitu kalimat yang tidak bisa diterima akal.
Contoh:

Nasi menyanyi tidur makan.

2 + 5 menyangi tidak pergi akan lagi.
Kalimat yang mempunyai arti dibedakan menjadi 2 yaitu: yaitu kalimat pernyataan dan kalimat bukan pernyataan.

Kalimat Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)
Kalimat Pernyataan
adalah suatu kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah. Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, atau proposisi dan dilambangkan dengan satu huruf kecil.
Perhatikan kalimat kalimat-kalimat berikut ini:
Contoh:

p: Semarang Ibukota Jawa Tengah. (benar)
q: 4x + 6x = 12x. (Salah)
r: Semua siswa SMK harus melaksanakan Praktek Kerja Industri (Prakerin). (Benar)
s: Nilai dari 42 x 2-3 = 3. (Salah)
t: 7 + 3 £ 10. (Benar)

Selain kalimat pernyataan di atas ada pula kalimat faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya baru diketahui sesuai dengan keadaan saat itu.
Contah:

Hari ini matahari bersinar terang.
Besok ada orang yang mendapat hadiah dari Bank.

Kalimat bukan pernyataan
adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.

Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah suatu bilangan tertentu atau suku yang tidak mengandung variabel.
Contoh:

6x – 4 = 14 (Kalimat terbuka)
3x + 4 <>
Hapuslah papan tulis itu! (Kalimatperintah)
Mengapa kamu tidak mengerjakan pekerjaan rumah? (Kalimat tannya)
Mudah-mudahan semua siswa mendapat beasiswa dari Pemkot. (Kalimat harapan)

#2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi

bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut

Ingkaran/Negasi.

Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda “~” .atau “¬“. Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca “tidak benar bahwa p” atau “non p” atau “negasi dari p”.

Contoh (1)
p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

Tabel Nilai kebenaran ingkaran:

Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.

Konjungsi:
Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan “∧” dan dibaca “dan”. Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan “p ∧ q” dibaca “p dan q”.
Tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai berikut:

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut
Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus hanya bisa terhubung jika saklar p maupun q tertutup
Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).:
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

Jakarta ibu kotaRI dan Tugu Muda terletak di kotaSemarang.

Gedung lawang sewu terletak di kotaSemarang dan 6 + 4 = 11
(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
Disjungsi.

Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan “V” dan dibaca “atau”. Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan” p V q” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi sebagai berikut:

Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar di bawah.

Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus tidak bisa terhubung jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:

Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.
Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.. Salah karena kedua komponennya bernilai salah.

#3. Implikasi dan Biimplikasi

Implikasi (kondisional)
adalah operasi penggabungan dua buah pernyataan yang menggunakan penghubung logika “jika … , maka … ” yang lambangnya ” → “. atau ” ⇒ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis “p → q” atau “p ⇒ q” dan dibaca “jika p, maka q”.
Pernyataan bersyarat p ⇒ q juga dapat dibaca ” p hanya jika q ” atau ” p adalah syarat cukup bagi q ” atau ” q adalah syarat perlu bagi p “.
Pada pernyataan p ⇒ q
p disebut hipotesa, anteseden, atau sebab
q disebut konklusi/konsekuen/akibat.

p	q	p `⇒` q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Tabel nilai kebenaran Implikasi sebagai berikut:

Catatan :
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa implikasi p ⇒ q bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar (B) dan konskuen bernilai salah (S), jika tidak demikian maka p ⇒ q bernilai benar(B).

Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).

Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang. SALAH

p	q	p `⇔` q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang BENAR
Biimplikasi (bikondisional)
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika ” … jika dan hanya jika … ” dan diberi lambang ” ⇔ ” atau ” ↔ “.

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis ” p ⇔ q ” atau
“p ↔ q” dibaca “p jika dan hanya jika q ” dan sering juga dibaca ” p equivalen q ” dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai beriku

Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p ⇔ q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12

2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12

Tulis p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12.
Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
Jadi nilai kebenaran p q adalah salah (S). 2. Kalimat bernilai benar (B)

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli dan 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 dan 3 adalah bilangan prima.
Gedung lawang sewu terletak di kotaSemarang dan Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
Hari ini hujan dan air sungai meluap.

Penyelesaian:

10 tidak bilangan asli atau 10 tidak habis dibagi 5.
3 tidak faktor dari 8 atau 3 tidak bilangan prima.
Gedung lawang sewu tidak terletak di kotaSemarang atau Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.

Hari ini tidak hujan atau air sungai tidak meluap.
(2) Ingkaran dari Disjungsi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari disjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli atau 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 atau 3 adalah bilangan prima.
Gedung lawang sewu terletak di kotaSemarang atau Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
Hari ini hujan atau air sungai meluap.

Jawab:

10 tidak bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5.
3 tidak faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima.
Gedung lawang sewu tidak terletak di kotaSemarang dan Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.

Hari ini tidak hujan dan air sungai tidak meluap.
(3) Ingkaran dari Implikasi.
Untuk menentukan ingkaran dari implikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

Jika 10 adalah bilangan asli maka 10 habis dibagi 5.
Jika 3 adalah faktor dari 8 maka 3 adalah bilangan prima.
Jika 4 + 6 > 10 maka harimau bintang buas.
Jika hari ini hujan maka air sungai meluap.

Penyelesaian:

10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 .
3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima
4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas .

Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap.
(4) Ingkaran dari Biimplikasi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari biimplikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Dalam membuat tabel kebenaran yang perlu diperhatkan adalah semua proposisi yang dibutuhkan diusahakan dibuat:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli jika dan hanya jika 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan prima.
4 + 6 > 10 jika dan hanya jika harimau binatang buas.
Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai meluap.

Penyelesaian:

Tulis:
p: 10 adalah bilangan asli
q: 10 tidak habis dibagi 5.
Jelas ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p).
Jadi ¬(p ⇔ q) ≡ 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 atau 10 habis dibagi r dan 10 bukan bilangan asli.
3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima dan 3 tidah faktor dari 8.
4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas atau harimau binatang buas dan 4 + 6 ≤ 10.
Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap atau air sungai meluap dan hari ini tidak hujan.

#6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan yang berupa implikasi p `⇒` q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q `⇒` p disebut Konvers dari p `⇒` q
(b) Pernyataan ~p `⇒` ~q disebut Invers dari p `⇒` q
(c) Pernyataan ~q `⇒` ~p disebut Kontraposisi dari p `⇒` q.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :

p	q	Implikasi p `⇒` q	Konvers q `⇒` p	Invers ~p `⇒` ~q	Kontraposisi ~q `⇒` ~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis

p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis

q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .

Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² ≥ 36

Penyelesaian:

Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x ≤ 6.
Jadi konvers p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ “jika x > 6 maka x² &re; 36”,

invers p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q ≡ ”jika x² <>≤ 6”,

kontraposisi p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x² < 36”.

*Sumber : http://alkhalayani.wordpress.com/2013/03/27/logika-matematika/